Razonando sobre la razon

Todo el mundo dice que algo esta demostrado, algunos mas ignorantes afirman que algo esta “demostrado científicamente”. Pero en realidad no tienen nocion de lo que desean expresar, a veces creo que quieren decir; “yo digo que es verdad y por mi autoridad le doy valor de verdad”.
Pero en las matematicas la idea de la demostración es algo que esta en el propio principio de ella. ¿Cómo podemos demostrar que algo es falso o verdadero sin ninguna clase de dudas? Ese problema se lo comenzaron planteado los griegos. Y para ello primero tenian que saber como razonamos. Ellos no lo supieron, pero se dieron cuenta que el razonamiento tenia ciertas leyes generales y trataron de mecanizarlas.
Aristóteles codifico los silogismos, y Euclides codifico la geometría. Y hasta ahí llego el asunto pasarían muchos siglos antes que alguien hiciera un avance en el estudio del razonamiento axiomatico.
(Despues de los griegos la humanidad al parecer fue victima de un virus, que afecto su cerebro y se volvieron locos con la religión, pero del cuAl aun no estamos totalmente libres, pero desde el siglo XV un numero mas grande personas se ha salvado de su infección.)
Pero la verdadera revolucion en ese campo comenzo en el siglo XIX cuando se descubrieron otras clases de geometrías que no eran euclidianas.
(Para entender su desconcierto, es necesario estar en esa epoca y preguntarse ¿Cómo es posible que existan otra clase de puntos y lineas en una realidad unica?)
Para los logicos eso fue un golpe fuerte, ya que aun no se recomponían de las numerosas paradojas de la nocion de limite en el calculo infinitesimal, cuando salian varias geometrías con un cuerpo axiomático completo.
Pero lo que verdaderamente exploto todo fueron los trabajos de Cantor sobre el infinito y los números tras infinitos, lo cual lo llevo a la teoria de conjunto basados en la logica (mas bien la codificación de Boole y De morgan) otros matematicos siguieron haciendo progresos mezclando teoria de conjunto, con razonamiento formal y números (como Peano) para saber que es una demostración y cuales son los limites de las demostraciones.
Pero lo de la teoria de conjunto traia su propia carga de paradojas. La mas famosa es la de Russell, en la cual los conjuntos. En la cual los conjuntos no pertenecen(no son miembros) a si mismo.
Es como el conjunto de todos los hombres no es un hombre. El conjunto de luis, no soy yo. (las personas no forman conjuntos)
Pero existen conjuntos que se devoran a si mismo. Como el conjunto de todos los conjuntos, los cuales al incluirse a si mismo terminan creando paradojas.
Entonces existen dos clases de conjuntos, los corrientes, que no se incluyen. Y los que se comen a si mismo, los que se incluyen en el conjunto, el paso logico era unir esos dos tipos de conjuntos. Por ejemplo Q; es el conjunto de todos los conjuntos comunes y corrientes.

Se ve claramente que Q es una paradoja, ya que al preguntarnos “¿Qué clase de conjunto es Q, de los comunes y corrientes o de los que se autodevoran?” nos damos cuenta que no es ninguno de los dos (hagan la prueba y lo veran)
Eso llevo a que muchos logicos y matematicos trataran de hacer una matemática libre de paradojas.
El mayor esfuerzo lo hicieron Russell y whitehead en su obra cumbre “Principia matemáticas” la idea era hacer una matemáticas sin paradojas estilo epimenes, que es algo como “esta frase es falsa”. Y tambien las variantes que aparentemente no tienen paradojas. Como esta
A.-La afirmación que sigue es falsa
b.-La afirmación que antecede es verdadera.
Si tomamos cada una de ellas aisladas, no hay ningun problema, de hecho hasta las utilizamos comúnmente, el problema comienza cuando cada una de ellas apunta a otra; y ese es el problema de la autoreferencia.
Russell vio que eso era la causa de todos los males y por eso su intento de hacer una matematicas libres de ellos,
La manera de evitar a formación de paradojas en la teoria de conjunto y en la de los numeros, fue bastante elegante, pero demasiado artificial. Era la teoria de los tipos.
Esto es que los conjuntos mas simples solo estaban formados por cosas puntuales, que no podian ser subdividas en conjuntos, los siguientes solo podian formarse por conjuntos simples, y se sigue de esa manera.
Es evidente que visto de esta manera se evita los conjuntos como Q, ya que ninguno puede pertenecer a si mismo ya que esta prohibido.
Pero las paradojas estilo de epimenides continuaban al igual
Y luego que comenzaron a publicar su obra un joven y desgarbado matematico se dio cuenta que habia algo terriblemente mal en todo ello y se propuso a demostrarlo, era kurt godel, como he visto en varios sitios que se hace referencia a su descubrimiento, pero muchas veces, no lo explican bien. O lo hacen muy a la ligera, tanto que solo termina en una caricatura.
El teorema de la incompletitud es conocido por pocas personas, a pesar de su importancia en casi todas las areas, se que se extrapola de manera descarada, yo mismo lo hago. Pero voy a tratar de explicarlo formalmente y cuales son los límites que se propuso.

filosofia, filosofia, ciencia, ciencia,