Razonando sobre la razon (Godel)

Como dije anteriormente, cuando nos encontramos con paradojas, parece que nos encontramos con los límites mismo de la razon y la logica. La Paradoja de Epimenides es una clara demostración de ello, en su forma mas simple se puede expresar de la siguiente manera; “Esta frase es falsa”.
Pues bien lo que encontro Godel es algo parecido a esa frase, pero en el aspecto matematicos.
Godel utilizo el razonamiento matematico para explorar el razonamiento matemático y consiguió el teorema de la inconpletitud.
Apareció en un articulo suyo llamado “Sobre las proposiciones formalmente indecibles en los Principia Matemática y sistemas análogos” y dice algo como esto.

A cada clase de K w-consistente y recursiva de formulae corresponden
signos de clase recursivos de tal modo que ni v gen rni Neg (v Gen r) pertenecen
a Flg (k) (donde v es la variante libre de r)

Si piensan que no lo entienden, estoy de acuerdo con ustedes, parece chino, y por mas que lo lei, no senti ni frio ni calor, le tuve que pedir a mi hermano que me lo tradujera al español.
Y me dijo que eso decia algo mas o menos como;
Toda formulación axiomática de teoria de los numeros incluye proposiciones indecibles.
Y eso si es una bomba, es decir que existe en la teoría de los numeros, que no se pueden saber si son verdaderas o falsas, y estamos hablando de los numeros naturales, esto es los números 1,2, 3,4,…..N+1.
Y es el sistema más simple de las matemáticas ¿Qué podemos esperar de los demás sistemas matematicos?
Utilzar el lenguaje para hablar del lenguaje es algo facil., mientras no es facil ver como una proposición relativa a los números puede hablar de si misma. Para ello el utilizo proposiciones autoreferenciales con la teoria de los numeros.
Ahora me doy cuenta que explicar esto es largo, pero sobre todo complicado.
Vamos a ver si puedo;
Una proposicion sobre las propiedades de los numeros naturales, se refiere a los numeros enteros, Los numeros enteros no son proposiciones, ni tampoco sus propiedades. Una proposicion de la teoria de los numeros no habla acerca de una proposicion de la teoria de numeros, es solo una proposicion de teoria de los numeros. Y este es el problema que resolvio Godel.
El penso que una proposición de teoria de los numeros podia hablar acerca de una proposición de teoría de los numeros (incluso acerca de si misma) a condicion simplemente de hacer que los números cumplieran la funcion de las proposiciones. Esto es hacer un codigo.
El codigo Godel es llamado comúnmente “numeración godel”, y hace que los numeros cumplan funciones de símbolos y de secuencias de símbolos. (el no fue e primero que realizo eso)
Y haciendo una secuencia de de símbolos especializado, cada proposicion se tendria que los numeros adquiere un numero Godel, algo como un numero de telefono, una IP de la computadora, mediante por la cual uno puede referirse a ella. Este recurso permitio que la teoria de los numeros se entienda a dos niveles distintos, como proposiciones de la teoria de los números y como proposiciones acerca de las proposiciones de la teoria de los numeros.
Teniendo ya este esquema de codificaciones godel tuvo que elaborar al detalle una manera de trasportar la paradoja de Epimenides a un formalismo de la teoria de los numeros.
Al hacerlo trasplanto la paradoja de epimenides no decia “Esta proposición de teoria de los numeros es falsa” si no “esta proposicion de teoria de los numeros no tiene ninguna demostración”.
Pero aquí llegamos a otro problema ¿Qué entendemos por demostración?.
Una demostración son pruebas dentro de sistemas fijos de proposiciones. En este caso el sistema de razonamiento teorico numérico al que se refiere la palabra demostración es el de los Principia Matemática, la gigantesca obra de russell y alfred north Whitehead (publicada entre 1910 y 1913)
Por lo tanto otra manera de decir lo que realizo Godel seria;
“Esta aseveración de teoria de los numeros no tiene ninguna demostración en el sistema de la Principia matemática”
ahora bien, esta aseveración de godel No es el teorema de godel, como la de la aseveración la paradoja de epimenides, no es la observación, “ La aseveración de epimenides es una paradoja”.
Teniendo eso en cuenta podemos pasara lo que hizo godel. Mientras la aseveración de epimenides crea una paradoja, puesto que no es verdadera ni falsa la aseveración de Godel es indemostrable (dentro de los principia matemáticas) pero verdadera
Y se concluye que los principia Matemática es incompleto, ya que hay proposiciones verdaderas de la teoria de los números para cuya demostración es muy debil el metodo de los P.Math.
Si eso hubiese sido todo, solo el metodo de los principia matemáticas hubiesen sufrido y quizas con algunas reformas se hubiese hecho otra obra que eliminase esa falla. Pero la frase del titulo del trabajo es muy elocuente “ y sistemas afines…” Y es debido a que el teorema se aplica a cualquier sistema axiomatico.
Resumiendo lo que demostró Godel fue que la demostrabilidad es un concepto mas endeble que la verdad, independientemente del sistema axiomatico que se trate.
Ahora bien, eso no es una “teoria mas” es un teorema. Y un teorema es siempre cierto, y no puede ponerse en duda, por definición.
Eso significa- y aquí lo extrapolo- que nunca, ni siquiera en principio podemos llegar a la verdad. Y lo mas grave, que no podemos ni en principio comprender nuestra propia mente, utilizando nuestra mente.
Ya que como se ve es un sistema autoreferendario y ya se sabe lo que sucede cuando pasa eso. Y nos dice que las demostraciones de verdad o falsedad tienen un tremendo hueco.
Ese es el límite de nuestro conocimiento, Si unimos el teorema de Godel a la incertidumbre de Heisenberg, no nos queda casi nada de lo que podemos saber.
quizas en un futuro hable mas sobre este teorema, aun hay mucho que decir, mas que todo por sus implicaciones. Y aun es oco comprendido esas implicaciones por la mayoria de los filósofos, algunos filosofos de la ciencia han hecho trabajos acerca de ello, pero no es algo generalizado, uno de los pocos, pero que entendio mal tanto las implicaciones del teorema de Godel como el principio de heisenberg fue Lacan, y desde el nadie a intentado un acercamiento serio a esa revolucion del pensamiento.



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Razonando sobre la razon

Todo el mundo dice que algo esta demostrado, algunos mas ignorantes afirman que algo esta “demostrado científicamente”. Pero en realidad no tienen nocion de lo que desean expresar, a veces creo que quieren decir; “yo digo que es verdad y por mi autoridad le doy valor de verdad”.
Pero en las matematicas la idea de la demostración es algo que esta en el propio principio de ella. ¿Cómo podemos demostrar que algo es falso o verdadero sin ninguna clase de dudas? Ese problema se lo comenzaron planteado los griegos. Y para ello primero tenian que saber como razonamos. Ellos no lo supieron, pero se dieron cuenta que el razonamiento tenia ciertas leyes generales y trataron de mecanizarlas.
Aristóteles codifico los silogismos, y Euclides codifico la geometría. Y hasta ahí llego el asunto pasarían muchos siglos antes que alguien hiciera un avance en el estudio del razonamiento axiomatico.
(Despues de los griegos la humanidad al parecer fue victima de un virus, que afecto su cerebro y se volvieron locos con la religión, pero del cuAl aun no estamos totalmente libres, pero desde el siglo XV un numero mas grande personas se ha salvado de su infección.)
Pero la verdadera revolucion en ese campo comenzo en el siglo XIX cuando se descubrieron otras clases de geometrías que no eran euclidianas.
(Para entender su desconcierto, es necesario estar en esa epoca y preguntarse ¿Cómo es posible que existan otra clase de puntos y lineas en una realidad unica?)
Para los logicos eso fue un golpe fuerte, ya que aun no se recomponían de las numerosas paradojas de la nocion de limite en el calculo infinitesimal, cuando salian varias geometrías con un cuerpo axiomático completo.
Pero lo que verdaderamente exploto todo fueron los trabajos de Cantor sobre el infinito y los números tras infinitos, lo cual lo llevo a la teoria de conjunto basados en la logica (mas bien la codificación de Boole y De morgan) otros matematicos siguieron haciendo progresos mezclando teoria de conjunto, con razonamiento formal y números (como Peano) para saber que es una demostración y cuales son los limites de las demostraciones.
Pero lo de la teoria de conjunto traia su propia carga de paradojas. La mas famosa es la de Russell, en la cual los conjuntos. En la cual los conjuntos no pertenecen(no son miembros) a si mismo.
Es como el conjunto de todos los hombres no es un hombre. El conjunto de luis, no soy yo. (las personas no forman conjuntos)
Pero existen conjuntos que se devoran a si mismo. Como el conjunto de todos los conjuntos, los cuales al incluirse a si mismo terminan creando paradojas.
Entonces existen dos clases de conjuntos, los corrientes, que no se incluyen. Y los que se comen a si mismo, los que se incluyen en el conjunto, el paso logico era unir esos dos tipos de conjuntos. Por ejemplo Q; es el conjunto de todos los conjuntos comunes y corrientes.

Se ve claramente que Q es una paradoja, ya que al preguntarnos “¿Qué clase de conjunto es Q, de los comunes y corrientes o de los que se autodevoran?” nos damos cuenta que no es ninguno de los dos (hagan la prueba y lo veran)
Eso llevo a que muchos logicos y matematicos trataran de hacer una matemática libre de paradojas.
El mayor esfuerzo lo hicieron Russell y whitehead en su obra cumbre “Principia matemáticas” la idea era hacer una matemáticas sin paradojas estilo epimenes, que es algo como “esta frase es falsa”. Y tambien las variantes que aparentemente no tienen paradojas. Como esta
A.-La afirmación que sigue es falsa
b.-La afirmación que antecede es verdadera.
Si tomamos cada una de ellas aisladas, no hay ningun problema, de hecho hasta las utilizamos comúnmente, el problema comienza cuando cada una de ellas apunta a otra; y ese es el problema de la autoreferencia.
Russell vio que eso era la causa de todos los males y por eso su intento de hacer una matematicas libres de ellos,
La manera de evitar a formación de paradojas en la teoria de conjunto y en la de los numeros, fue bastante elegante, pero demasiado artificial. Era la teoria de los tipos.
Esto es que los conjuntos mas simples solo estaban formados por cosas puntuales, que no podian ser subdividas en conjuntos, los siguientes solo podian formarse por conjuntos simples, y se sigue de esa manera.
Es evidente que visto de esta manera se evita los conjuntos como Q, ya que ninguno puede pertenecer a si mismo ya que esta prohibido.
Pero las paradojas estilo de epimenides continuaban al igual
Y luego que comenzaron a publicar su obra un joven y desgarbado matematico se dio cuenta que habia algo terriblemente mal en todo ello y se propuso a demostrarlo, era kurt godel, como he visto en varios sitios que se hace referencia a su descubrimiento, pero muchas veces, no lo explican bien. O lo hacen muy a la ligera, tanto que solo termina en una caricatura.
El teorema de la incompletitud es conocido por pocas personas, a pesar de su importancia en casi todas las areas, se que se extrapola de manera descarada, yo mismo lo hago. Pero voy a tratar de explicarlo formalmente y cuales son los límites que se propuso.

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