Razonando sobre la razon (Godel)

Como dije anteriormente, cuando nos encontramos con paradojas, parece que nos encontramos con los límites mismo de la razon y la logica. La Paradoja de Epimenides es una clara demostración de ello, en su forma mas simple se puede expresar de la siguiente manera; “Esta frase es falsa”.
Pues bien lo que encontro Godel es algo parecido a esa frase, pero en el aspecto matematicos.
Godel utilizo el razonamiento matematico para explorar el razonamiento matemático y consiguió el teorema de la inconpletitud.
Apareció en un articulo suyo llamado “Sobre las proposiciones formalmente indecibles en los Principia Matemática y sistemas análogos” y dice algo como esto.

A cada clase de K w-consistente y recursiva de formulae corresponden
signos de clase recursivos de tal modo que ni v gen rni Neg (v Gen r) pertenecen
a Flg (k) (donde v es la variante libre de r)

Si piensan que no lo entienden, estoy de acuerdo con ustedes, parece chino, y por mas que lo lei, no senti ni frio ni calor, le tuve que pedir a mi hermano que me lo tradujera al español.
Y me dijo que eso decia algo mas o menos como;
Toda formulación axiomática de teoria de los numeros incluye proposiciones indecibles.
Y eso si es una bomba, es decir que existe en la teoría de los numeros, que no se pueden saber si son verdaderas o falsas, y estamos hablando de los numeros naturales, esto es los números 1,2, 3,4,…..N+1.
Y es el sistema más simple de las matemáticas ¿Qué podemos esperar de los demás sistemas matematicos?
Utilzar el lenguaje para hablar del lenguaje es algo facil., mientras no es facil ver como una proposición relativa a los números puede hablar de si misma. Para ello el utilizo proposiciones autoreferenciales con la teoria de los numeros.
Ahora me doy cuenta que explicar esto es largo, pero sobre todo complicado.
Vamos a ver si puedo;
Una proposicion sobre las propiedades de los numeros naturales, se refiere a los numeros enteros, Los numeros enteros no son proposiciones, ni tampoco sus propiedades. Una proposicion de la teoria de los numeros no habla acerca de una proposicion de la teoria de numeros, es solo una proposicion de teoria de los numeros. Y este es el problema que resolvio Godel.
El penso que una proposición de teoria de los numeros podia hablar acerca de una proposición de teoría de los numeros (incluso acerca de si misma) a condicion simplemente de hacer que los números cumplieran la funcion de las proposiciones. Esto es hacer un codigo.
El codigo Godel es llamado comúnmente “numeración godel”, y hace que los numeros cumplan funciones de símbolos y de secuencias de símbolos. (el no fue e primero que realizo eso)
Y haciendo una secuencia de de símbolos especializado, cada proposicion se tendria que los numeros adquiere un numero Godel, algo como un numero de telefono, una IP de la computadora, mediante por la cual uno puede referirse a ella. Este recurso permitio que la teoria de los numeros se entienda a dos niveles distintos, como proposiciones de la teoria de los números y como proposiciones acerca de las proposiciones de la teoria de los numeros.
Teniendo ya este esquema de codificaciones godel tuvo que elaborar al detalle una manera de trasportar la paradoja de Epimenides a un formalismo de la teoria de los numeros.
Al hacerlo trasplanto la paradoja de epimenides no decia “Esta proposición de teoria de los numeros es falsa” si no “esta proposicion de teoria de los numeros no tiene ninguna demostración”.
Pero aquí llegamos a otro problema ¿Qué entendemos por demostración?.
Una demostración son pruebas dentro de sistemas fijos de proposiciones. En este caso el sistema de razonamiento teorico numérico al que se refiere la palabra demostración es el de los Principia Matemática, la gigantesca obra de russell y alfred north Whitehead (publicada entre 1910 y 1913)
Por lo tanto otra manera de decir lo que realizo Godel seria;
“Esta aseveración de teoria de los numeros no tiene ninguna demostración en el sistema de la Principia matemática”
ahora bien, esta aseveración de godel No es el teorema de godel, como la de la aseveración la paradoja de epimenides, no es la observación, “ La aseveración de epimenides es una paradoja”.
Teniendo eso en cuenta podemos pasara lo que hizo godel. Mientras la aseveración de epimenides crea una paradoja, puesto que no es verdadera ni falsa la aseveración de Godel es indemostrable (dentro de los principia matemáticas) pero verdadera
Y se concluye que los principia Matemática es incompleto, ya que hay proposiciones verdaderas de la teoria de los números para cuya demostración es muy debil el metodo de los P.Math.
Si eso hubiese sido todo, solo el metodo de los principia matemáticas hubiesen sufrido y quizas con algunas reformas se hubiese hecho otra obra que eliminase esa falla. Pero la frase del titulo del trabajo es muy elocuente “ y sistemas afines…” Y es debido a que el teorema se aplica a cualquier sistema axiomatico.
Resumiendo lo que demostró Godel fue que la demostrabilidad es un concepto mas endeble que la verdad, independientemente del sistema axiomatico que se trate.
Ahora bien, eso no es una “teoria mas” es un teorema. Y un teorema es siempre cierto, y no puede ponerse en duda, por definición.
Eso significa- y aquí lo extrapolo- que nunca, ni siquiera en principio podemos llegar a la verdad. Y lo mas grave, que no podemos ni en principio comprender nuestra propia mente, utilizando nuestra mente.
Ya que como se ve es un sistema autoreferendario y ya se sabe lo que sucede cuando pasa eso. Y nos dice que las demostraciones de verdad o falsedad tienen un tremendo hueco.
Ese es el límite de nuestro conocimiento, Si unimos el teorema de Godel a la incertidumbre de Heisenberg, no nos queda casi nada de lo que podemos saber.
quizas en un futuro hable mas sobre este teorema, aun hay mucho que decir, mas que todo por sus implicaciones. Y aun es oco comprendido esas implicaciones por la mayoria de los filósofos, algunos filosofos de la ciencia han hecho trabajos acerca de ello, pero no es algo generalizado, uno de los pocos, pero que entendio mal tanto las implicaciones del teorema de Godel como el principio de heisenberg fue Lacan, y desde el nadie a intentado un acercamiento serio a esa revolucion del pensamiento.



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